怎样证明平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和(证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和)
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1、方法一:利用余弦定理。
2、在平行四边形ABCD中,有:AB=DC、AD=BC、∠A=180°-∠B,∴cosA=-cosB。
3、由余弦定理,有:AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cosB,······①BD^2=AD^2+AB^2-2AD×AB×cosA=AD^2+DC^2+2BC×AB×cosA。
4、······②①+②,得:AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2。
5、方法二:利用向量点积。
6、在平行四边形ABCD中,有:向量AC=向量AB+向量AD,向量BD=向量BA+向量BC=-向量AB+向量AD。
7、∴|AC|^2=|AB|^2+|AD|^2+2向量AB·向量AD,······③ |BD|^2=|AD|^2+|AB|^2-2向量AD·向量AD。
8、······④③+④,得:|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2+|AD|^2+|AB|^2。
9、显然有:AD=BC、AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2。
10、方法三:利用勾股定理。
11、不失一般性,假设平行四边形ABCD中,∠A为锐角。
12、分别过A、B向DC引垂线,垂足分别为E、F。
13、容易得出:AE=BF、ED=FC,∴EC=ED+DC=FC+DC、DF=DC-FC。
14、由勾股定理,有:AC^2=AE^2+EC^2、BD^2=BF^2+DF^2,两式相加,得:AC^2+BD^2=2BF^2+(FC+DC)^2+(DC-FC)^2=2BF^2+2FC^2+2DC^2。
15、再由勾股定理,有:BF^2+FC^2=BC^2,∴AC^2+BD^2=2BC^2+2DC^2。
16、明显有:AD=BC、AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2。
本文分享完毕,希望对你有所帮助。